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技術解説(数学関数編) |
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双曲線正弦/余弦(sinh/cosh) |
| 最終更新日：2006/12/11 新規 |
●概要
定義式で求めるか、級数で求めるか迷う所である。
●定義
・sinh X = (eX - e-X) / 2
・cosh X = (eX + e-X) / 2
●級数
・sinh X = Σ X(2*k+1) /(2 * k + 1)! [k = 0 to ∞]
・cosh X = Σ X(2*k) /(2 * k)! [k = 0 to ∞]
であるが、これは、sin、cos と同型で、収束傾向も同じ。但し、変数の範囲が頗る広いので、大きいところでは無理。
(再掲) sinh/cosh の収束(その精度を得るための k の値)
●5角公式
双曲線でも、三角関数と同じように倍角公式があり、5倍角は以下の通りである。
・sinh5X = 16sinh5X + 20sinh3X + 5sinhX
・cosh5X = 16cosh5X - 20cosh3X + 5coshX
これを漸化式にすれば、m 段で、1/5m にできる。
●見積り
○定義式
定義式での演算では、 eX の算出とその逆数演算が主要演算で残りは無視できる。eX の演算は、X の小数部での級数演算なので、収束はほぼ一定しており、また1/Nや分割方式で演算されるので、変数の広い範囲で安定な収束となっている。16384桁で20秒以下。
○級数＋倍角
これは、sin と同じと考えてよく、漸化式15段程度で、16384桁が20秒以下。
級数＋倍角で求めるまでもなく、変数の全ての範囲で定義式で求めても良さそう。
●実測値
○定義式
下表は、定義式にて演算した時間である。横軸は変数のオーダで、106 〜 10-9 まで測定した。
変数の広い範囲で安定した演算時間となっている。
○級数＋漸化式15段
○級数＋漸化式20段
