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数学関数 |
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正弦/余弦 |
| 最終更新日：2006/06/06 |
●概要
級数展開にて求める。但し、そのままでは収束が遅いので工夫が必要となる。
●級数
○定義
以下の展開式を用いる。tan は、sin、cosから求める。
・sin(x) = ∑(-1)k * x(2*k+1) /(2 * k + 1)! [k = 0 to ∞]
・cos(x) = ∑(-1)k * x(2*k) /(2 * k)! [k = 0 to ∞]
○収束の予測
sin、cos の収束はほぼ同じで、SeriesLastItem関数にて展開した表(Factorial3の表)の通りとなる。変数Xのオーダが小さいほど収束が速くなるので、オーダを以下に小さくするかが課題となる。
●X を小さくする
○原理
倍角公式を漸化式にして、X を、X / Cn にしてしまう。一般式だと分かりづらいので、具体的に説明する。
cos の2倍角公式は、
cos(2 * X) = 2 * (cos(X))2 - 1
であるが、これを書き換えると。
cos(X) = 2 * (cos(X / 2))2 - 1
となる。これを更に、
cos(X / 2) = 2 * (cos(X / 4))2 - 1
とできる。列挙すれば、
cos(X) = 2 * (cos(X / 2))2 - 1
cos(X / 2) = 2 * (cos(X / 4))2
- 1
cos(X / 4) = 2 * (cos(X / 8))2
- 1
cos(X / 8) = 2 * (cos(X / 16))2
- 1
・・・・・・・・・・・・・・
Cn+1 = f(X / Cn)
[ cos の場合は、C = 2]
となる。これは漸化式となる。例えば、X / 16 でcos を求めれば、これから、cos(X / 8) → cos(X / 4 ) →・・・・ cos(X) を以下のように単純な演算で算出できることになる。
N を漸化段数とする。
Y は、変数 X を 2N で除した数で求めた級数値For i = 1 To N
Y = Subt(Mul(Mul(Y,Y),2),1)
Next
Y は Cos(X) となる。
理論上、X はいくらでも小さくできる。現実的には、漸化式の段数と級数の収束度との関係で決める必要がある。
○N倍角公式
以下のように、それぞれ、2 ～ 5 まで掲げてみた。
・２倍角の公式
sin2θ＝2sinθcosθ
cos2θ＝2cos2θ－１
・３倍角の公式
sin3θ＝3sinθ－4sin3θ
cos3θ＝4cos3θ－3cosθ
・４倍角の公式
sin4θ＝4sinθcosθ－8sin3θcosθ
cos4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋１
・５倍角の公式
sin5θ＝16sin5θ－20sin3θ＋5sinθ
cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ
○適用する倍角
sin では、cos が現れる倍角公式は使えない。また、２倍角では効率が悪い。3倍角では、1/3 が、徒に語長をのばしてしまう可能性が高い。sin、cos で、同じ漸化式になり、効率が高い5倍角を双方に採用する。漸化の段数はとりあえず10 とする。実験では、10段での漸化式の演算時間は、比較的短い。10 段では、510 = 9765625 となり、π/3 で、100万桁を5万項目で求められる。 下表は、変数を精度桁数にして、級数直接、漸化10段、漸化15段での演算時間を実測したもの。15段では、精度が高くなると効果が現れてくる。
○準備
周期関数なので、与えられた変数を0 ～ 2π の周期内に変換する必要がある。これは、変数から 2π による整数除算と剰余を求めて、剰余を周期内値として使用している。この時、変数範囲をもう少し狭い範囲にする方法がある。例えば、0 ～ π/4 や π/2 に押さえ込こむことができる。しかし、変数として、0 ～ 2π までを実際に当てはめてsin の演算時間を実測したところ、その範囲では、有意差はなかった。これは、倍角による漸化式にて、十分に小さくなるので、1桁程度の初期値の差がでないと考えられる。
変数は、6桁程度の精度の数値