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数学関数 |
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階乗評価関数 |
| 最終更新日：2006/05/15 追加 |
●概要
階乗の演算は説明するまでもないが、以下の補助関数について解説する。
- FactorialOrder(階乗次数)
- FactorialDoubleOrderr(二重階乗次数)
- FactorialItem(階乗項数)
これらは、主として級数の収束予測を算出する場合に有意義となる。
●階乗次数
Stirling の近似式によって算出している。近似式は、
N! ≒ NN*e-N*(2*π*N)1/2
であるが、この右辺の常用対数は、十進数の桁数に他ならない。つまり、桁数Dは、
D = Int(N * Log(N / e) + Log(2 * π * N) / 2)
内部で、Doubleによる組込み関数で算出している。実際にN! を算出し、その指数部を調べても同じであるが、Nが数万以上になれば、時間が掛かってしまうので、現実的ではない。本法では瞬時に求まる。
●二重階乗次数
Stirling の近似式では直接解けないので、二重階乗を階乗に変形して解いている。
○偶数
(2N)!! = 2N * N!
であるから、次数は、
Log(2N * N!) = N * Log(2) + Log(N!)
= N * Log(2) + FactorialOrder(N)
で、求められる。
○奇数
(2N-1)!! = (2N)! / (2N)!!
であるから、次数は、
Log((2N)! / (2N)!!) = Log((2N)!) - Log((2N)!!)
= FactorialOrder(2N) - (N * Log(2) + FactorialOrder(N))
で、求められる。
●階乗項数
○原理
次数は数式によって求められるが、その逆はそうは行かない。筆者は、当初、エクセルにてテーブルを作成し、テーブルの逆検索にて収束する項数を求めていたが、これは少々面倒くさい。
近似式を直接の逆関数にできないので、項数を、1 から、100万まで、100 刻み(テーブルサイズは、10001)で FactorialOrder にてテーブルを生成しておき、以下のようにテーブルにて検索する。テーブルは、例えば以下のように、FctT(0,k) が、項数、FctT(1,k) が、次数とする。
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 200 | 10000 | ||
| 項数FctT(0,k) | 1 | 101 | 201 | 301 | 401 | 20001 | 1000001 | ||
| 次数FctT(1,k) | 0 | 159 | 377 | 616 | 871 | 77341 | 5565714 |
- 与えられた次数が挟まれるテーブルの位置(k-1、k とする）を検出する。
- テーブルのFctT(0,k-1) を初期値 ks とし、FactorialOrder(ks + j) を、j = 0 から49 まで、算出しながら、
- その値が、与えられた次数を始めて超えたとき終了で、そのときの、ks + j が求める項数となる。
この方法は、k-1、k 間を補間するより正確に値を求められる。テーブルはフラグにより、一度生成すると、以降は生成しないようになっている。
＜例＞ FactorialItem(700) ?
次数として、700 が与えられたとすれば、テーブルは、k =3、4 が選ばれ、項数初期値は、301 となる。FactorialOrder(301 + j) ≧ 700？ を、j を、0 から 99 まで、インクリメントしながら演算し、最終的に、335 を得る。
○確認
実際に関数を確認した。項数を与えて、先ず、FactorialOrder を算出し、その求まった次数にて、FactorialItem(次数)を算出したもの。項数 ≒ FactorialItem となれば、OK。実際には、一致しており、誤差はないようである。ユーティリティの機能として用意されている。
