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数学関数 |
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逆正弦/逆余弦 |
| 最終更新日：2006/04/15 |
●概要
級数展開にて求める。但し、そのままではかなり収束が遅いので工夫が必要となる。
●級数
以下の級数を使用する。arccos は、arcsin より求める。
・arcsin(X) = ∑ (2 * k - 1)!!/((2 * k)!! * (2 * k + 1)) * X(2*k+1) [k = 0 to ∞]
級数の収束予測を行うと、下表のように、X = 1 近傍では、5000項でも、わずか 7 桁しか得られなく、とても実用できない。
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●arcsin ：X を小さくする
○余角
A = π / 2 - B
であるから、
arcsin(X) = π / 2 - arcsin(Y)
ところで、
X2 + Y2 = 1
だから、
arcsin(Y) = arcsin(sqrt(1 - X2))
となる。sqrt(1 - X2) は、X が、1 に近いほど、小さくなるので、収束が期待できる。 余角を採用する判定は、
X > sqrt(1 - X2)
を解けばよい。これを解くと、
X > 1 / sqrt(2) = 0.7
つまり、|X| が 0.7以上の場合は、余角を採用する。
○加法定理
sin の加法定理は、
sin(α - β) = sin(α)*cos(β) - sin(β)*cos(α)
であるが、今、sin(α) = x、sin(β) = y とし、arc に適用すると、
α = arcsin(x)、β = arcsin(y)
cos(β) = sqrt(1 - y2)、cos(α) = sqrt(1 - x2)
なので、
arcsin(x) - arcsin(y) = arcsin(x*sqrt(1 - y2) - y*sqrt(1 - x2))
と、よく知られた関係式となる。ここで、
z = x*sqrt(1 - y2) - y*sqrt(1 - x2)
とおいて、変形すると、
arcsin(x) = arcsin(y) + arcsin(z)
与えられた値をx とすれば、arcsin(y) + arcsin(z) を求めれば良い。y と z は、上記の関係内であれば任意なので、今、
arcsin(y) =[arcsin(x)]
[n] は、限りなく真値 n に近いと言う意味。 ここでの真値とは、求める精度での値。
とすれば、arcsin(z) は、限りなく0に近く(つまり、ラフ値と真値との差分)にならざるを得なくなる。つまり、z もそうなる。対数で行った工夫と同じコンセプトである。
[arcsin(x)] は、組込み関数で、求めれば、15桁の精度の値が得られる。この値を使い、多倍長(目標精度)で、
y = sin([arcsin(x)])
を求め、z を算出し、この z を級数でarcsin値とする。 下表は、基本(余角までの対応)と、改良(加法定理の対応)との速度実測である。20～40倍の速度が得られているので、加法定理による改良は劇的である。
