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数学関数 |
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逆正接 |
| 最終更新日：2006/04/18 |
●概要
級数展開にて求める。但し、そのままではかなり収束が遅いので工夫が必要となる。
●級数
・arctan(X) = ∑(-1)k-1 * X(2*k-1) / (2 * k - 1) [k = 1 to ∞]
級数の収束予測を行うと、下表のように、X = 1 近傍では、とても実用できない。分母が、1次なので、なかなか小さくなってくれない。
| k | X | |||||||||
| 1 | 0.9 | 0.6 | 0.4 | 0.2 | 1.E-01 | 1.E-10 | 1.E-20 | 1.E-30 | 1.E-40 | |
| 100 | -3 | -12 | -47 | -82 | -142 | -202 | -1,993 | -3,983 | -5,973 | -7,963 |
| 200 | -3 | -21 | -92 | -162 | -282 | -402 | -3,993 | -7,983 | -11,973 | -15,963 |
| 400 | -3 | -40 | -181 | -321 | -562 | -802 | -7,993 | -15,983 | -23,973 | -31,963 |
| 800 | -4 | -77 | -358 | -640 | -1,121 | -1,603 | -15,994 | -31,984 | -47,974 | -63,964 |
| 1,000 | -4 | -95 | -447 | -799 | -1,401 | -2,003 | -19,994 | -39,984 | -59,974 | -79,964 |
| 2,000 | -4 | -187 | -891 | -1,595 | -2,799 | -4,003 | -39,994 | -79,984 | -119,974 | -159,964 |
| 4,000 | -4 | -370 | -1,779 | -3,188 | -5,595 | -8,003 | -79,994 | -159,984 | -239,974 | -319,964 |
| 8,000 | -5 | -737 | -3,554 | -6,371 | -11,188 | -16,004 | -159,995 | -319,985 | -479,975 | -639,965 |
| 16,000 | -5 | -1,469 | -7,104 | -12,739 | -22,371 | -32,004 | -319,995 | -639,985 | -959,975 | -1,279,965 |
| 32,000 | -5 | -2,934 | -14,203 | -25,473 | -44,739 | -64,004 | -639,995 | -1,279,985 | -1,919,975 | -2,559,965 |
| 64,000 | -6 | -5,863 | -28,402 | -50,942 | -89,473 | -128,005 | -1,279,996 | -2,559,986 | -3,839,976 | -5,119,966 |
●方式
arctan は、変数の範囲が -∞～∞ と広く、注意が必要となる。値を算出する方法は二通り考えられるが、結局、演算速度で選ぶことになる。
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arcsin から求める。
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arctanの級数で求める。
・値の範囲によって、値を小さくする方法を変える。
・加法定理によって微小値にする。
●arcsin より求める
下図から、A = arctan(x) = arcsin(x/y) なので、
arctan(x) = arcsin(x / sqrt(1 + x2))
で、求められる。arcsin と 1/sqrt の演算時間が支配的となる。最も簡便となるが、時間はどうか気になるところ。
下表は、arcsin と級数との時間を実測したものである。
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表1
arctan(0.699) を算出した時間。級数にとっては比較的収束が期待できない範囲であるが、素の級数の方が時間が短い。これは、級数では、0.699 と僅か3桁の数値であるが、sqrt や、arcsin では、変数が精度一杯の数値となり、演算時間が掛かってしまうことも原因である。 -
表2
arctan(0.6999・・・・・・9) 9が99個並ぶ。数値が100桁になったので級数の時間が延びている。arcsin では、ほぼ同じ。これは、常に指定精度桁の演算をしているからである。
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| 表1 | 表2 |
とりあえず、級数で求める方法が良さそう。
●級数で求める
変数の範囲が -∞～∞ と広いので、適当なゾーンに分割して、値の縮小化を図らないといけない。
○微小値
x ＜ 1E-20～30 などなら、直接、級数で求めても良さそう。
○値の限定化
・余角
上図から、arctan(x) = π /2 - arctan(1 / x) なので、少なくとも、x ≧ 1 では、1 / x を採用する。
・既知の値との差を利用する
ある特定の角度に区切って、その差を利用する。またしても、加法定理より、
tan(α - β) = (tan(α) - tan(β)) / (1 + tan(α) * tan(β))
上図から、x, y ＞ 0 として、
tan(α - β) = (x - y) / (1 + x * y)
だから、arc にすれば、
α - β = arctan((x - y) / (1 + x * y))
今、β = π / 4 とすれば、y = 1 なので、
α - π / 4 = arctan((x - 1) / (x + 1))
∴ α = π / 4 + arctan((x - 1) / (x + 1))
z = (x - 1) / (x + 1)
とすれば、z ＜ 1 となる。arctan(x) は、arctan(z) を求めることに帰着された。但し、闇雲に適用するのではなく、x の適当な範囲で採用する。角度にして、π/8 ～ 3π/8 が分かりよい。x にすれば、0.4 ～ 2.4 程度となる。z に換算すれば、-0.43 ～ 0.41 となる。これにて、余角については、 X ＞ 2.4 で採用することになる。
○微小化
0.4 程度では、まだまだ収束はおぼつかない。更なる工夫が必要となる。既に、arcsin を求める方法で解説した方法をここでも考える。加法定理、
tan(α - β) = (x - y) / (1 + x * y) (上記)
をarc を使って変形すると、
arctan(x) - arctan(y) = arctan(z)
但し、z = (x - y) / (1 + x * y)
従って、
arctan(x) = arctan(y) + arctan(z)
今、arctan(y) = [arctan(x)]
[n] は、限りなく真値 n に近いと言う意味。 ここでの真値とは、求める精度での値。
とすれば、arctan(z) は、限りなく0に近く(つまり、ラフ値と真値との差分)にならざるを得なくなる。つまり、z もそうなる。
[arctan(x)] は、組込み関数で、求めれば、15桁の精度の値が得られる。この値を使い、多倍長(目標精度)で、
y = tan([arctan(x)])
を算出すれば、高精度な z が求まる。結局、arctan(z) を求めることに帰着された。z は、非常に微小な値となり、これによる級数の収束は期待できる。
●結論
下表は、これまでの検討を実際に確かめた結果である。試験の変数は、0.699などの短い桁数ではなく、精度と同じ桁数としている(変数は、精度と同じ桁数の定数PI を5 で割ったもの。約 0.628318530717958647692528676655・・・・)。
- arcsin法：上記と同じ。参考値
- 級数直接：変数をそのまま級数に代入
- 級数改良1：既知との差に変換
- 級数改良2：改良1 に加えて、微少化したもの
4つの方法で同じ値が得られることも確認した。やはり、改良2 が、最も速く、これを採用する。