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●概要

　とりあえず、双曲線正接も用意する。

●級数

  ・tanh X = Σ (-1)^k-1・T_k・X^(2*k-1) /(2 * k - 1)!  [k = 0 to ∞]

　である。T_k はベルヌーイ数から算出される正接係数。残念ながら、これは複雑過ぎるので、級数から求めない方が良さそう。

●方法検討

　級数がだめなら、定義式から求めることになる。

○直接

　tanh X = (e^X - e^-X) / (e^X + e^-X)

であるが、まともに計算するとExp を二回することになるので、以下のように変形する。分母、分子を、e^X 倍し、変形すると、

　(e^2X - 1) / (e^2X + 1) = (e^2X + 1 - 1 - 1) / (e^2X + 1)
= 1 - 2 /(e^2X + 1)

となる。これで、1回のExp で済む。

　ところで、上式では、X ＜ 0 の場合、e^2X の演算で、逆数がでるので、今度は、e^-X 倍し、変形すると、

 (e^2X - 1) / (e^2X + 1) =2 / (e^-2X + 1) - 1

を得る。X ＜ 0 の場合は、この式で計算する。

　但し、いずれも、|X| ≪ 1 のとき、e^±2X ≒ 1 となり(下図参照)、整数 - [1] の計算による桁落ちが生じる。

　上図は、小さなXに対する、e^2X の値を算出し、整数 1 との差を取ったものである(明白であるが、実証主義の筆者は確認した。)。いずれも精度は64桁としている。X欄は、X の次数である。初期値は、3.3333333 である。演算結果は、64桁以下は切り捨てられ丸め誤差が生じる。図では、-66以降で、e^2X は破綻している(1 になってしまっている)。演算精度をP とすれば、変数の次数が-P 以下で、破綻することになる。

　これを避けるために、次の方法を取る。

○sinh 法

　cosh² X - sinh² X = 1 であるから、両辺を、sinh² X で割って変形すると、

　1/ tanh² X - 1 = 1/ sinh² X

∴tanh X = sinh X / sqrt( 1 + sinh² X)

となる。