級数評価関数

数学関数

級数評価関数

最終更新日：2006/06/08

●概要

　標準的な級数の項目について、その収束を評価する。

●原理

　一般的に級数の収束予測は、数学的な逆関数がないので数式からは求められなく、工夫が必要である。

○線形型

　良く現われるのは、例えば、

　X^k / k

である。1/k 部分は、収束に殆ど参加しないので、変数の次数が支配的となる。係数を無視しても評価はできるが、一応考慮する。また、偶数型、奇数型も、項数が大きくなると違いはなくなるが、ここでは、律儀に区別している。

　収束する項数を見積もるだけなら、上式を単純化して、以下の条件式を得る。

　　(10^M)^k / k ≦ 10^-P(P ＞ 0、M ＜ 0)

両辺の常用対数をとると、

　M * k - Log(k) ≦ -P

と表せる。この場合も、k については解けないので、以下の方法で解く。この場合、支配的なものは、M * k なので、

仮の項数 pk を、pk = -P / M とする。このとき、pk は、真値より必ず大きい。
pk を、デクリメントしながら、M * pk - Log(pk) を計算し、M * pk - Log(pk) ＞ -P となる直前の pk を求める。
実際には、k = a * K + b と一般化し、K を求めている。

・確認

　この関数を用いて、変数のオーダ、精度を変化させ、級数が収束する項数の表を作成した。ユーティリティの機能として用意されている。

○階乗型

　よく現われる級数の項目は、例えば、

　X^k / k!

である。また、偶数型、奇数型も、項数が大きくなると違いはなくなるが、ここでは、律儀に区別している。収束する項数を見積るだけなら、上式を単純化して、以下の条件式を得る。

　(10^M)^k / k! ≦ 10^-P(P ＞ 0)

M = 0 なら、FactorialItem にて簡単に項数が求められる。指数のみに注目すれば(対数を取る)、

M * k - FO(k) ≦ -P (FO：FactorialOrder関数)

と表せる。これを以下の方法で解く。

仮の項数 pk を、FI(|P|) で求める。FI は、FactorialItem。
M = 0 なら、pk が解答。
M ＜ 0 なら、pk をデクリメントしながら、M * pk - FO(pk) ＞ -P になる直前のpkを求める。
M ＞ 0 なら、pk をインクリメントしながら、M * pk - FO(pk) ＜ -P になる直前のpkを求める。
実際には、k = a * K + b と一般化し、K を求めている。

　この関数を用いて、変数のオーダ、精度を変化させ、級数が収束する項数の表を作成した。ユーティリティの機能として用意されている。

○二重階乗型

　この型は、逆関数などの級数展開で現われる定型である。

　((2k-1)!!/((2k)!!(2k+1)))・X^(2k+1)((2k-1)!!/((2k)!!(2k)))・X^-(2k) (X ≫ 1 の場合)

　k が十分に大きければ、上式はほぼ同じとなる。二重階乗で表される係数部分を、ざっくりと省略形にすると、分子の二重階乗と分母の二重階乗はほぼ相殺(約分)され、2k のみ残るので、結局、k が十分大きければ、係数は、

　1 / (2k)²

と評価できる。係数は、徐々に減少はするが、k = 10⁶ でも、精々12桁の精度となる。つまり、二重階乗係数の収束は遅いことになる。変数の次数に期待するタイプと言える。係数を Z と置けば、

Z * (10^M)^(2*k+1) ≦ 10^-P(P ＞ 0、M ＜ 0)

が、条件式となるので、常用対数を取れば、

Log(Z) + M * (2 * k + 1) ≦ -P

を得る。支配的な部分は、M * (2 * k + 1) なので、

仮の項数 pk を、pk = (-P / M - 1 ) / 2 とする。このとき、pk は、真値より必ず大きい。
pk を、デクリメントしながら、M * (2 * pk + 1) + FDO(Z(pk)) を計算し、M * (2 * pk + 1) + FDO(Z(pk)) ＞ -P となる直前の pk を求める。ここで、FDOは、FactorialDoubleOrder。
FDO(Z(pk)) = FDO(2* pk - 1) - (FDO(2 * pk) + Log(2 * pk + 1)) で求める。

　この関数を用いて、変数のオーダ、精度を変化させ、級数が収束する項数の表を作成した。ユーティリティの機能として用意されている。