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数学関数 |
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双曲線正弦/余弦 |
| 最終更新日：2006/06/12 |
●概要
とりあえず、双曲線関数も用意する。双曲線正弦/余弦については、変数の範囲が広いので範囲に応じて、定義式または級数で求める。
●級数
・sinh X = Σ X(2*k+1) /(2 * k + 1)! [k = 0 to ∞]
・cosh X = Σ X(2*k) /(2 * k)! [k = 0 to ∞]
であるが、これは、sin、cos と同型で、収束傾向も同じ。但し、変数の範囲が頗る広い。
●方法検討
- 定義式から直接求める。|X| ＞ 1 の場合に有利かもしれない。
- 級数から。三角関数と同じなので、|X| ≪ 1 で適用すればよいかも。
- |X| を小さくして級数適用。
●|X| を小さくする
実は、双曲線関数にも倍角公式があり、5倍角では、
・sinh5X = 16sinh5X + 20sinh3X + 5sinhX
・cosh5X = 16cosh5X - 20cosh3X + 5coshX
となる。三角関数と同じく、これを漸化式にできる。 X / 5m とする訳である。m=10 とすれば、1/106 できる。
●演算時間予測
○収束予測
以下に、sinh/cosh の級数展開における目標精度(公称精度)に達するための級数演算回数をSeriesLastItem関数/2 で算出したものである。横軸は、変数のオーダである。-3、-6、-10、-13 、-17 は、変数オーダが0 の場合に漸化を施した段数、5、10、15、20、25 に相当するオーダである。
○級数の速度予測
sinh の級数演算と漸化式の合計を見積もって見ると以下のようになる。変数はフル精度長の場合である。
図の、一番上の行は、級数の変数オーダで、その下の漸化式の段数に対応している。結果は、漸化式の演算時間も含んだ時間なので、各公称精度で一番短い時間が良いとなる。2048桁以上では、25段が速いと予測される。
●演算時間実測
計算と実際は異なる。実際の方がより時間が掛かるのが常。また、定義式からの算出時間の比較も必要となる。しかし、精度が高くなると時間も掛かるので実測は困難となる。100万桁では数日間掛かってしまう。
計測は、精度を16383桁までとし、変数の桁数もパラメータにした。8、16桁と精度桁/2、精度桁の4種類である。更に、変数のオーダもパラメータにした。3、0、-3、-6 である。これらについて、Exp法、級数、漸化法で実測した。いずれの場合も、Exp法より、級数あるいは漸化法が速いことが分かった。
| No. | 精度 | 桁 | オーダ | Exp法 | 級数 | 漸化5段 | 漸化10段 | 漸化15段 |
| 1 | 256 | 8 | 3 | 16.65 mS | 3.078 S | 6.630 mS | 5.771 mS | 7.353 mS |
| 0 | 12.14 mS | 5.276 mS | 3.745 mS | 5.182 mS | 7.092 mS | |||
| -3 | 9.909 mS | 1.623 mS | 3.091 mS | 4.902 mS | 6.980 mS | |||
| -6 | 9.479 mS | 907.4 μS | 2.831 mS | 4.739 mS | 6.780 mS | |||
| 32 | 3 | 17.68 mS | 3.391 S | 9.361 mS | 6.587 mS | 7.843 mS | ||
| 0 | 13.09 mS | 8.889 mS | 4.695 mS | 5.690 mS | 7.463 mS | |||
| -3 | 10.66 mS | 2.694 mS | 3.640 mS | 5.235 mS | 7.224 mS | |||
| -6 | 10.18 mS | 1.498 mS | 3.165 mS | 5.028 mS | 7.072 mS | |||
| 128 | 3 | 19.02 mS | 4.219 S | 16.72 mS | 9.068 mS | 9.346 mS | ||
| 0 | 14.39 mS | 19.02 mS | 7.468 mS | 7.246 mS | 8.614 mS | |||
| -3 | 11.79 mS | 5.854 mS | 5.249 mS | 6.390 mS | 8.224 mS | |||
| -6 | 10.93 mS | 3.324 mS | 4.367 mS | 5.939 mS | 7.904 mS | |||
| 256 | 3 | 19.05 mS | 4.297 S | 17.32 mS | 9.302 mS | 9.756 mS | ||
| 0 | 14.93 mS | 19.99 mS | 7.722 mS | 7.463 mS | 9.068 mS | |||
| -3 | 12.20 mS | 6.231 mS | 5.520 mS | 6.587 mS | 8.614 mS | |||
| -6 | 11.36 mS | 3.612 mS | 4.596 mS | 6.090 mS | 8.230 mS | |||
| 2 | 1024 | 8 | 3 | 152.9 mS | 20.08 S | 54.69 mS | 46.88 mS | 58.59 mS |
| 0 | 116.8 mS | 41.45 mS | 32.45 mS | 41.35 mS | 55.74 mS | |||
| -3 | 86.81 mS | 15.50 mS | 26.18 mS | 39.06 mS | 54.28 mS | |||
| -6 | 79.28 mS | 9.174 mS | 23.35 mS | 37.50 mS | 52.88 mS | |||
| 32 | 3 | 159.6 mS | 21.39 S | 84.49 mS | 57.59 mS | 64.45 mS | ||
| 0 | 129.6 mS | 79.28 mS | 44.50 mS | 48.65 mS | 60.61 mS | |||
| -3 | 99.70 mS | 29.21 mS | 33.65 mS | 43.82 mS | 57.73 mS | |||
| -6 | 90.91 mS | 17.20 mS | 28.57 mS | 41.45 mS | 55.99 mS | |||
| 512 | 3 | 188.9 mS | 30.36 S | 308.0 mS | 144.8 mS | 117.6 mS | ||
| 0 | 157.4 mS | 348.2 mS | 139.6 mS | 103.1 mS | 100.1 mS | |||
| -3 | 121.3 mS | 129.9 mS | 93.04 mS | 83.75 mS | 89.67 mS | |||
| -6 | 111.8 mS | 77.55 mS | 71.66 mS | 73.66 mS | 81.88 mS | |||
| 1024 | 3 | 200.5 mS | 31.52 S | 321.4 mS | 149.6 mS | 120.4 mS | ||
| 0 | 164.7 mS | 382.8 mS | 144.8 mS | 107.7 mS | 101.6 mS | |||
| -3 | 131.4 mS | 142.7 mS | 96.59 mS | 86.59 mS | 91.62 mS | |||
| -6 | 121.3 mS | 85.65 mS | 74.65 mS | 76.39 mS | 83.91 mS | |||
| 3 | 4096 | 8 | 3 | 932.3 mS | 1 M 40.0 S | 506.3 mS | 323.7 mS | 337.1 mS |
| 0 | 800.8 mS | 450.0 mS | 273.4 mS | 260.4 mS | 302.7 mS | |||
| -3 | 628.9 mS | 195.3 mS | 200.5 mS | 226.6 mS | 281.2 mS | |||
| -6 | 556.2 mS | 120.4 mS | 165.2 mS | 207.8 mS | 267.4 mS | |||
| 32 | 3 | 1.099 S | 1 M 46.5 S | 875.0 mS | 484.4 mS | 434.9 mS | ||
| 0 | 958.3 mS | 901.0 mS | 450.0 mS | 364.6 mS | 380.2 mS | |||
| -3 | 822.9 mS | 388.0 mS | 310.3 mS | 305.8 mS | 341.5 mS | |||
| -6 | 718.7 mS | 239.6 mS | 246.5 mS | 269.5 mS | 319.2 mS | |||
| 2048 | 3 | 1.539 S | 2 M 34.4 S | 3.766 S | 1.727 S | 1.193 S | ||
| 0 | 1.414 S | 4.297 S | 1.820 S | 1.188 S | 947.9 mS | |||
| -3 | 1.198 S | 1.867 S | 1.198 S | 916.7 mS | 802.1 mS | |||
| -6 | 1.073 S | 1.151 S | 895.8 mS | 753.9 mS | 703.1 mS | |||
| 4096 | 3 | 1.539 S | 2 M 39.9 S | 3.937 S | 1.812 S | 1.255 S | ||
| 0 | 1.414 S | 4.641 S | 1.891 S | 1.245 S | 994.8 mS | |||
| -3 | 1.208 S | 2.016 S | 1.245 S | 963.5 mS | 838.5 mS | |||
| -6 | 1.078 S | 1.255 S | 932.3 mS | 793.0 mS | 730.5 mS | |||
| 4 | 16384 | 8 | 3 | 8.266 S | 14 M 16.4 S | 5.812 S | 3.187 S | 2.750 S |
| 0 | 7.703 S | 5.516 S | 3.172 S | 2.344 S | 2.312 S | |||
| -3 | 6.531 S | 2.688 S | 2.187 S | 1.906 S | 2.016 S | |||
| -6 | 5.500 S | 1.719 S | 1.695 S | 1.641 S | 1.820 S | |||
| 32 | 3 | 10.61 S | 14 M 48.8 S | 10.73 S | 5.562 S | 4.297 S | ||
| 0 | 10.31 S | 11.22 S | 5.719 S | 3.969 S | 3.484 S | |||
| -3 | 9.641 S | 5.438 S | 3.875 S | 3.109 S | 2.969 S | |||
| -6 | 7.969 S | 3.500 S | 2.969 S | 2.625 S | 2.625 S | |||
| 8192 | 3 | 17.30 S | 19 M 16.3 S | 49.17 S | 23.69 S | 16.14 S | ||
| 0 | 17.14 S | 55.08 S | 25.56 S | 16.36 S | 12.58 S | |||
| -3 | 15.45 S | 26.67 S | 17.27 S | 12.48 S | 10.31 S | |||
| -6 | 13.52 S | 17.19 S | 12.86 S | 10.16 S | 8.797 S | |||
| 16384 | 3 | 17.38 S | 19 M 44.5 S | 51.20 S | 24.97 S | 16.66 S | ||
| 0 | 17.27 S | 59.34 S | 26.67 S | 17.19 S | 12.95 S | |||
| -3 | 15.55 S | 28.72 S | 17.87 S | 13.12 S | 10.62 S | |||
| -6 | 13.64 S | 18.59 S | 13.42 S | 10.64 S | 9.063 S |
変数の桁数で状況が変化しているが、あまり細かく対応できないので、大ざっぱに傾向を掴み方式を決定する。
●演算方式決定
上表からエイヤッと以下の結論に達した。
- Exp法は、変数のオーダが 3 を超過する場合に採用する。
- 変数のオーダが 3 以下の場合は、
- 精度が 4096 未満では、漸化段数を可変とする。漸化段数 N は、変数の指数を Ep とすれば、
N = (5 / 3 ) * Ep + 5 (但し、15 ≧ N ≧ 0) (5/3 は、上表から算出した係数)
N = 0 は、漸化なしの級数を意味する。
- 精度が 4096 以上では、全ての場合で、漸化段数15段とする。